Hubungan Matematika Diskrit Dengan Teknik Informatika

Sebagai mana kita ketahui bahwa kata komputer berasal dari kata compute yang artinya “menghitung”. Jadi komputer bila diartikan secara harfiah adalah alat hitung. Logikanya sudah jelas bahwa hubungan matematika dan TI sangat erat. Karena inti dasar teknik informatika adalah pembuatan software dan di dalam pembuatannya itu membutuhkan perhitungan dan logika yang pasti. Oleh karena itu, matematika sangat penting dalam rangka sebagai dasar dan pengembangan dalam majunya teknik informatika khususnya pembuatan software. Dalam pembuatan software tersebut menggunakan sistem bilangan biner dan kode bilangan. Semua disusun dengan urutan tertentu sehingga menghasilkan suatu software yang dapat diguanakan untuk mempermudah aktivitas kita. Disamping itu, untuk membuat suatu pemrograman di komputer, kita harus menggunakan algoritma. Algoritma itu sendiri adalah langkah sistematis yang mengikuti kaidah logika.

Matematika dikenal sebagai ilmu dasar dari berbagai bidang lainnya. Pembelajaran matematika melatih kita untuk berpikir kritis, logis, analitis, dan sistematis. Peran matematika tidak hanya sebatas hal tersebut. Perkembangan bidang ilmu lain, seperti fisika, biologi, ekonomi ataupun berbagai bidang ilmu sosial, tidak terlepas dari peran matematika. Matematika juga sangat pantas disebut sebagai jembatan ilmu pengetahuan dan teknologi. Sebagai contoh, kemajuan teknologi luar angkasa yang sangat pesat di jaman sekarang karena kemajuan bidang ilmu fisika.

Banyak ilmu yang berkembang atas dasar penerapan konsep dari matematika. Salah satunyaperkembangan ilmu komputer yang sedang berkembang pesat dalam era informasi sekarang ini. Jaringan komputer, komputer grafis, aplikasi dari berbagai softwere diambil dari penerapan konsep dan pemikiran dari para ahli yang telah dirangkum dalam ilmu matematika. Teori grup, struktur aljabar, statistika dan peluang, kalkulus semua itu sangat aplikatif dalam dunia science dan teknologi.

Dalam perkembangan teknologi informatika, matematika memberikan pengaruh tersendiri. Berbagai aplikasi dan program di komputer tidak lepas dari penerapan aplikasi matematika, diantaranya adalah operasi Aljabar Boolean, teori graf, matematika diskrit, logika simbolik, peluang dan statistika.

Contoh lainnya adalah dalam perkembangan memori. Memori menyimpan berbagai bentuk informasi sebagai angka biner. Informasi yang belum berbentuk biner akan dipecahkan (encoded) dengan sejumlah instruksi yang mengubahnya menjadi sebuah angka atau urutan angka-angka.

Sistem Informasi Geografi (SIG) yang merupakan suatu bukti atas aplikasi matematika yang begitu banyak menerapkan konsep matematika dan statistika didalamnya. Dengan SIG kita dapat pula menerapkannya dalam penataan kota, memetakan sumber daya alam yang tersebar di seluruh pelosok Indonesia yang belum pernah terjamah oleh tangan manusia dengan segala keterbatasannya.

Begitu juga sebaliknya, di era globalisasi ini penerapan TI dalam Matematika juga sangat penting. Misalnya mengenai E-learning. Menurut pendapat saya,e-learning adalah hal yang sangat esensial sebagai salah satu upaya peningkatan kualitas pembelajaran matematika. Pemanfaatan e-learning yang tepat sesuai dengan kebutuhan tentu akan berdampak positif terhadap hasil belajar matematika. Terlebih lagi untuk Negara Indonesia sebagai Negara kepulauan, dengan pemanfaatan e-learning kesenjangan mutu pendidikan dapat diminimalisir karena terdapatnya kesempatan akses informasi yang luas serta bebas ruang dan waktu. Hanya saja, yang perlu diperhatikan adalah selain kesiapan saran prasarana serta sumber daya manusia, haruslah diingat bahwa teknologi tidak akan pernah dapat menggantikan peran guru sebagai pendidik yang melibatkan hubungan emosional antara dosen dan mahasiswa. Setiap program e-learning yang hendak diterapkan haruslah mempunyai dasar tujuan yang jelas dapat meningkatkan kualitas pembelajaran matematika agar lebih efektif dan efisien bukan sebaliknya. Untuk dapat melaksanakan e-learning dalam pembelajaran matematika selain diperlukan sarana prasarana yang memadai, dibutuhkan pula sumber daya manusia yang siap dan berkualitas untuk membangun system-nya. Setidaknya untuk dapat membuat suatu e-learning yang berkualitas membutuhkan beberapa pakar sekaligus, yang pertama jelas dibutuhkan pakar teknologinya sebagai pembuat programnya, yang kedua dari sudut pandang didaktik dibutuhkan pakar pendidik matematika yang menguasai materi matematika.

 

Penerapan Matematika Diskrit  Pada Jurusan Teknik Informatika

          Matematika diskrit (discrete mathematics) adalah cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit, Menurut Wikipedia & ACM (Association for Computing Machinery) mendefinisikan matematika diskrit sebagai berikut:
“Apa yang dimaksud dengan kata diskrit? Benda yang disebut diskrit jika ia terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang berbeda atau elemen-elemen yang tidak bersambungan. Himpunan bilangan bulat (integer) dipandang sebagai objek diskrit. Kita dapat memahami diskrit dengan membandingkan lawan katanya yaitu continue atau menerus (contiuous). Himpunan bilangan real dipandang sebagai objek continue. Fungsi diskrit digambarkan sebagai sekumpulan titik-titik, sedangkan fungsi continue digambarkan sebagai kurva”.

          Matematika Diskrit berkembang sangat pesat dalam dekade ini. Salah satu alasan yang menyebabkan perkembangan pesat itu adalah karna computer digital bekerja secara diskrit, Informasi yang disimpan dan dimanipulasi oleh computer adalah dalam bentuk Diksrit.

          Matematika Diskrit merupakan Ilmu paling dasar di dalam pendidikan informatika atau ilmu computer. Pada dasarnya informatika adalah kumpulan disiplin ilmu dan teknik yang mengolah dan memanipulasi objek diskrit. Matematika diskrit memberikan landasan matematis untuk kuliah-kuliah lain di dalam teknik informatika. Mahasiswa yang akan mengambil mata kuliah Algoritma, Struktur Data, Basis Data, Otomata, Jaringan Komputer, Keamanan Komputer, System Operasi dan Mata kuliah lain akan akan kesulitan jika tidak mempunyai landasan matematis dari matematika diskrit.

1. Logika

          Materi Matematika Diskrit di dalam Makalah ini dimulai dari pembahasan Logika, Logika merupakan Studi penelaran (reasoning). Dalam KBBI definisi penalaran, yaitu cara berfikir dengan mengembangkan suatu berdasarkan akal budi dan bukan dengan perasaaan atau peryataan. Tinjaulah argument Berikut ini :

          Semua pengendara sepeda motor memakai helm.

          Setiap Orang yang memakai helm adalah mahasiswa.

          Jadi, Semua Pengendara sepeda motor adalah mahasiswa.

Meskipun logika tidak membantu menentukan apakah pernyataan-pernyataan tersebut benar atau salah, tetapi jika kedua peryataan tersebut benar, maka penalaraan dengan menggunakan logika membawa kita pada kesimpulan bahwa pernyataan

          Semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa.

Juga benar.

Di dalam matematika, hukum-hukum logika menspesifikasikan makna dari pernyataan matematis. Hukum-hukum logika tersebut membantu kita untuk membedakan antara argument yang valid & tidak valid. Logika juga digunakan untuk membuktikan teorema-teorema di dalam matematika.

Logika pertama kali dikembangkan oleh Filsafat Yunani, Aristoteles, sekitar 2300 tahun yang lalu. Saat ini, logika mempunyai applikasi yang luas di dalam ilmu computer, misalnya dalam bidang pemograman, analisis kebenaran algoritma kecerdasan buatan (artificial intelleigence), perancangan computer, dan sebagainya.

1.1 Proposisi

          Didalam Matematika Diskrit, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang dipergunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan Proposisi.

“Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat tersebut nilai kebenarannya (truth false)”.

Beberapa contoh Proposisi :

a. 6 adalah bil genap.
b. soekarno adalah presiden pertama Indonesia.
c. 2 + 2 = 4.
d. ibukota Provinsi Jawa barat adalah semarang.
e. 12 ≥ 19.
f. kemarin hari hujan.
g. suhu di permukaan laut adalah 21 derajat.
h. pemuda itu tinggi.
i. kehidupan hanya ada di planet bumi.

          Semuanya merupakan proposisi. Proposisi a, b, & c bernilai benar tetapi proposisi d salah dikarenakan ibukota jawa barat adalah bandung dan proposisi e bernilai salah karna seharusnya 12 ≤ 19. Proposisi f sampai dengan i memang tidak dapat langsung ditetapkan kebenaran nya, namun satu hal yang pasti, Proposisi-proposisi tersebut tidak mungkin salah dan benar sekaligus. Proposisi f bisa kita andaikan benar (hari kemarin memang hujan) atau salah (kemarin tidak hujan).

1.2 Mengkombinasikan Proposisi

          Kita dapat membentuk proposisi baru dengan cara mengkombinasikan satu atau lebih proposisi. Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut Operator Logika. Operator logika dasar yang digunakan adalah dan (and), atau (or), dan tidak (not). Dua operator pertama dinamakan operator biner karena operator tersebut mengoperasikan dua buah proposisi, sedang operator ketiga dinamakan uner karna ia hanya membutuhkan satu buah proposisi.

          Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi majemuk. Proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain tersebut proposisi atomik. Dengan kata lain, proposisi majemuk disusun dari proposisi-proposisi atomik. Metode pengkombinasian proposional dibahas oleh matematikawan inggris bernama George boole pada tahun 1854 di dalam bukunya yang sangat terkenal, The Law of Thought.

Berikut contoh-contoh proposisi majemuk :

          P : hari ini hujan

          q : murid-murid diliburkan dari sekolah

maka

          p ^ q : hari ini hujan dan murid-murid diliburkan

          p ˅ q : hari ini hujan atau murid-murid diliburkan

          ~ q    : hari ini tidak hujan

1.3 Tabel Kebenaran

         

          Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dan proposisi atomiknya dan cara mereka dihubungkan oleh operator logika.

Contoh :

          p : 17 adalah bilangan Prima.

          q : bilangan prima selalu ganjil.

Sangat jelas bahwa p bernilai benar dan q bernilai salah sehingga konjungsi

          p ^ q : 17 adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil

adalah salah.

          Satu cara yang praktis untuk menentukan nilai kebenaran proposisi majemuk adalah menggunakan tabel kebenaran. Tabel kebenaran menampilkan hubungan antara nilai kebenaran dari proposisi atomik.

Tabel 1.1 menunjukkan tabel kebenaran untuk konjungsi, disjungsi dan ingkaran. Pada tabel tersebut, T = true (benar) F = false (salah)

Tabel 1.1 tabel kebenaran konjungsi, disjungsi dan Ingkaran.

p	q	p^q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

p	q	p˅q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

p	~q
T	F
F	T

Proposisi majemuk dapat selalu bernilai benar untuk berbagai kemungkinan nilai kebenenaran masing-masing proposisi atomiknya, atau selalu bernilai salah untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing masing proposisi atomiknya.

1.4 Hukum-hukum Logika Proposisi

          Proposisi, dalam kerangka hubungan ekivalensi logika, memenuhi sifat-sifatnya yang dinyatakan dalam sejumlah hukum pada tabel 1.2 beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada system bilangan real. Sehingga kadang-kadang hukum logika proposisi dinamakan juga hukum-hukum aljabar proposisi.

Tabel 1.2 hukum-hukum logika

1. Hukum identitas : (i)  p˅F↔ p (ii) p^T↔p	3. Hukum negasi (i) p˅ ~p ↔ T (ii)p^ ~p ↔ F
2. Hukum Null (i)  p^F↔ F (ii) p˅T↔T	4. Hukum idempotent (i)  p˅p ↔ p (ii) p^p ↔ p

5. Hukum Involusi ~(~p) ↔ p	8. Hukum asosiatif (i)  p˅ (q ˅ r ) ↔ (p ˅ q) ˅ r (ii) p^ (q ^ r ) ↔ (p ^ q) ^ r
6. Hukum Penyerapan (i)  p˅ (p^q) ↔ p (ii) p^ (p˅q) ↔ p	9. Hukum Distributif (i)  p ˅ (q ^ r )↔(p ˅ q)  ^ ( p˅ r) (ii) p ^ (q ˅ r)↔(p ^ q) ˅ ( p^ r)
7. Hukum Komulatif (i)  p˅q ↔ q ˅ p (ii) p^q ↔ q ^ p	10. Hukum De Morgan (i)  ~(p^q) ↔ ~p ˅ ~q (ii) ~(p˅q) ↔ ~p ^ ~q

Hukum-hukum logika diatas bermamafaat untuk membuktikan keekivalenan dua buah proposisi. Selain menggunakan tabel kebenaran, keekivalenan dapat dibuktikan dengan hukum hukum logika, khususnya pada proposisi majemuk yang mempunyai banyak proposisi atomik.

 

1.5 Implikasi

          Selain dalam bentuk konjungsi, disjungsi dan negasi, proposisi majemuk dapat muncul berbentuk “ jika p, maka q” seperti contoh berikut ini :

a. jika adik lulus ujian, maka ia mendapatkan hadiah dari ayah.

b. jika suhu mencapai 80Celcius, maka alarm berbunyi.

c. jika tidak mendaftarkan ulang, maka anda dianggab mengundurkan diri.

Pernyataan berbentuk “jika p, maka q” semacam itu disebut proposisi bersyarat atau kondisional atau implikasi.

Tabel 1.3 Kebenaran Implikasi

p	q	p → q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

1.6 Bi-implikasi

          Posisi bersyarat penting lainnya adalah berbentuk “p jika dan hanya jika q” dinamakan bi-implikasi. “ misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk “p jika dan hanya jika q” disebut bi-implikasi dan dilambangkan dengan p↔q.

Pernyataan p↔q adalah benar bila p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama, yakni p↔q benar jika p dan q keduanya benar atau p dan q keduanya salah.

Tabel 1.4 kebenaran Bi-implikasi

p	q	p ↔q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

 

2. Induksi Matematik

          Di dalam matematika, sebuah proposisi atau pernyataan tidak hanya sekedar ditulis, kita juga harus mengerti apa yang menyebabkan proposisi tersebut benar, dalam judul ini kita memfokuskan pembuktian proposisi yang menyangkut bilangan bulat, misalnya pembuktian pernyataan “jumlah n buah bilangan bulat positif pertama adalah n(n + 1)/2”. Metode pembuktian untuk proposisi bilangan bulat adalah induksi matematika.

Induksi matematik adalah teknik pembuktian baku di dalam matematika. Melalui induksi matematis kita dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas.

Menurut sejarahnya, induksi matematik berawal pada akhir abad ke-19. Dua orang matematikawan yang mempelopori perkembangan induksi matematik adalah. R Dedekind dan G. Peano (DOE85). Dedekind mengembangkan sekumpulan aksioma yang menggambarkan bilangan bulat positif. Peano memperbaiki aksioma tersebut dan memberikannya interprestasi logis. Keseluruhan aksioma tersebut dinamakan Postulat Peano.

 

3. Kombinatorial Dan Peluang Diskrit

          Kombinatorial adalah cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek. Solusi yang ingin kita peroleh dengan kombinatorial ini adalah jumlah cara pengaturan objek-objek tertentu di dalam himpunannya. Satu  buah contoh ilustrasi berikut dikemukakan untuk memperjelas masalah seperti apa yang akan dipecahkan dengan kombinatorial.

a. contoh pertama : sebuah plat nomor di Negara X terdiri atas 5 angka- angka yang diikuti dengan 2 huruf. Angka pertama tidak boleh 0. Berapa banyak nomer plat yang dapat dibuat?

Cara paling sederhana untuk menyelesaikan persoalan semacam ini adalah dengan menumerasi semua kemungkinan jawaban. Menumerasi artinya mencacah dan menghitung cout 1 per satu setiap kemungkinan jawaban. Untuk persoalan dengan jumlah objek sedikit, menumerasi setiap kemungkinan jawaban masih dapat dilakukan.

Bila kita menumerasi semua kemungkinan jawabannya adalah seperti dibawah ini :

          1234AB, 1224PD, 1234TT, 1234GT, 1444NM, 1198GT, 1231AY

          1234AC, 1234MC, 1234BF dan seterusnya

Mungkin kita sudah lelah sebelum usaha menumerasi semua kemungkinan nomor plat mobil selesai, karna plat mobil yang di bentuk sangat banyak. Disinilah peran kombinatorial, yang merupakan “seni berhitung”, meyelesaikan persoalan semacam ini dengan cepat.

4.Alajabar Boolean

          Alajabar Boolean, sebagai salah satu cabang matematika, pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan Inggris, George Boole, pada tahun 1854. Boole melihat bahwa himpunan dan logika proposisi mempunyai sifat-sifat yang serupa, aturan dasar logika ini membentuk struktur matematika yang disebut Aljabar Boolean. Pada tahun 1938, claude Shannon memperlihatkan penggunaan aljabar Boolean untuk merancang rangkaian sirkuit yang menerima masukan 0 dan 1 menghasilan kleuaran 0 dan 1. Ajlabar Boolean telah menjadi dasar teknologi computer digital karna rangkaian elektronik di dalam computer juga bekerja dengan metode operasi bit, 0 dan 1. Saat ini aljabar Boolean digunakan secara luas dalam perancangan rangkain pengsaklaran, rangkain digital, dan rangkaian IC (integrated circuit) computer.

 

4.1 Definisi Aljabar Boolean

          Alajabar Boolean dapat didefinisikan secara abstack dalam beberapa cara. Cara yang paling umum adalah menspesifikasikan unsure-unsur pembentuknya dan operasi-operasi yang menyertainya “ Misalkan B adalah himpunan yang didefinisikan pada dua operator biner, + dan ∙, dan sebuah operator uner,’. Misalkan 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B. maka, tupel

          <B, +, ∙, ‘, 0, 1>

Disebut aljabar Boolean jika setiap a, b, c Ԑ B berlaku aksioma berikut :

          1. Identitas
          (i)  a + 0 = a
          (ii) a ∙ 1 = a

          2. Komutatif
          (i)  a+b = b+a
          (ii) a ∙ b= b ∙ a

          3. Distributif
          (i)  a ∙ (b + c ) = ( a ∙ b ) + ( a ∙ c)
          (ii) a+ (b ∙ c) = (a + b) ∙ ( a + c)

          4.Komplemen
          (i)  a + a’ =1
          (ii) a ∙ a’ = 0

Elemen 0 dan 1 adalah dua elemen unik yang di dalam B. 0 disebut elemen terkecil dan 1 elemen terbesar.

5.Graf

Graf digunakan untuk mereperesentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek dinyaktakan sebagai noktah, bulatan , ataupun titik, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis.

5.1 Sejarah Graf

          Menurut cacatan sejarah jembatan Konigsberg adalah masalah yang pertama kali menggunakan Graf pada tahun 1736. Di kota sebelelah timur Negara bagian Russia, sekarang bernama kota Kaliningrad, terdapat sungai pregal yang mengaliri pulau Kneiphof lalu bercabang menjadi 2 buah anak sungai.

Ada 7 jembatan yang menghubungkan daratan yang dibelah oleh sungai tersebut. Masalah jembatan Koneigsberg adalah : apakah mungkin melalui ketujuh buah jembatan itu masing masing tepat 1 kali, dan kembali lagi ke tempat yang sama, tetapi mereka tidak dapat menjelaskan mengapa demikian. Jawaban nya, kecuali dengan cara coba-coba. Tahun 1736, seorang matematikawan Swiss, L.Euler, adalah orang pertama yang berhasil menemukan jawaban dari maslaah itu dengan pembuktian yang sederhana. Ia memeodelkan masalah ini ke graf. Daratan titik yang dihubungkan dengan jembatan dinyatakan sebagai titik noktah – yang disebut simpul Vertex dan jembatan dinyatakan Garis- yang disebut sisi Edge.

          Jawaban yang disimpulkan Eluer adalah : “ Orang-orang tidak mungkin melalui ketujuh jembatan itu masing masing 1 kali dan kembali lagi ketempat semula, jika derajat setiap simpul tidak seluruhnya Genap. Yang dimaksud dengan derajat adalah banyaknya garis yang bersisian dengan noktah. Sebagai contoh, simpul C memiliki derajat 3 karna ada tiga buag garis yang ber sisian dengan nya, simpul B dan D juga berderajat dua, sedangkan simpul A berderajat 5.

5.2 Definisi Graf

          Secara matematis, Graf didefinisikan sebagai berikut:

“Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V , E), ditulis dengan Notasi G=(V, E), yang dalam hal ini V adalah himpunan tidak kosong dari simpul simpul dan E adalah himpunan sisi yang menghubungkan sepasang simpul”.

Definisi di atas menyatakan bahwasanya V tidak boleh Kosong, sedangkan E boleh kosong, jadi sebuah Graf dimungkinkan tidak mempunyai sisi satu buah pun, tetapi simpulnya harus ada, minimal satu. Graf yang hanya mempunyai satu buah simpul tanpa sebuah sisi dinamakan graf trivial.

Simpul pada graf dapat di nomori dengan huruf, seperti a, b, c, dan seterusnya atau dengan bilangan asli 1, 2, 3, atau gabungan keduanya. Sedangkan sisi yang menghubungkan simpul u dengan simpul v dinyatakan dengan pasangan (u ,v) atau dinyatakan dengan lambing e₁, e₂, …. Dengan kata lain, jika e adalah sisi yang menghubungkan simpul u dengan simpul v, maka e deitulis sebagai e = (v, v)

5.3 Jenis-Jenis Graf

          Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa kategori bergantung pada sudut pandang pengelompokkan nya. Pengelompokan graf dapat dipandang berdasarkan ada tidaknya sisi ganda atau sisi kalang, berdasarkan jumlah simpul, atau berdasarkan orientasi arah pada sisi.

1.Graf Sederhana

Ialah graf yang tidak mengandung gelang maupun  sisi ganda dinamakan graf sederhana. Contoh graf sederhana adalah merepresentasikan Jaringan computer.

2.Graf tak-sederhana

Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan graf tak sederhana.

Daftar Pustaka

·         http://renaltoc.blogspot.co.id/2014/09/penerapanmatematikadiskritdalam.

Html

·         Anderson, Robet B., Proving Programs Correct, Jhon wiley & sons 1979

·         Matematika Diskrit, Reynaldi Munir 2005

·         Algoritma dan Pemograman Adi Nugroho 2009